Black, Scholes et Merton ou la neutralisation mathématique du hasard

Philippe Alezard

Avec Bachelier, la finance avait trouvé son intuition fondatrice : les cours de Bourse peuvent être pensés comme des mouvements aléatoires et les options comme des droits dont la valeur dépend de la probabilité des prix futurs. Avec Wiener, cette intuition reçoit une assise mathématique rigoureuse : le mouvement brownien devient un processus continu, doté d’incréments indépendants et gaussiens, capable de donner une forme à l’incertitude. Avec Markowitz, enfin, l’incertitude n’est plus seulement décrite ; elle devient l’objet d’une décision rationnelle, organisée à l’échelle d’un portefeuille. Il restait toutefois une question décisive : si le hasard gouverne les prix, est-il possible de donner un prix rigoureux à un contrat qui porte précisément sur ce hasard ?

C’est à cette question que répondent Fischer Black, Myron Scholes et Robert C. Merton au début des années 1970. Leur contribution ne consiste pas seulement à produire une formule célèbre. Elle transforme la nature même de l’évaluation financière. Avant eux, une option apparaît essentiellement comme un pari : le droit d’acheter ou de vendre un actif à un prix fixé, dans un avenir incertain. Après eux, l’option devient un objet que l’on peut répliquer, couvrir et valoriser à partir d’un raisonnement d’arbitrage. Le prix n’est plus seulement une opinion sur l’avenir ; il devient la conséquence logique d’une stratégie dynamique de couverture.

Le contexte intellectuel et financier des années 1960 et 1970 est essentiel pour comprendre cette rupture. Aux États-Unis, la finance est alors en train de devenir une discipline académique autonome. Les business schools se rapprochent des marchés, les bases de données de prix se développent, la théorie du portefeuille de Markowitz a fait entrer la variance et la covariance dans le langage des investisseurs, tandis que le CAPM (Capital Asset Pricing Model) de Sharpe, Lintner et Mossin cherche à établir une relation d’équilibre entre rendement attendu et risque systématique. Dans le même temps, les marchés d’options, longtemps dominés par des transactions de gré à gré, connaissent une mutation institutionnelle. En avril 1973, le Chicago Board Options Exchange ouvre ses portes et offre pour la première fois un marché organisé de contrats d’options standardisés sur actions. La publication du modèle de Black et Scholes intervient la même année, presque au moment exact où le marché avait besoin d’un langage commun pour coter, comparer et couvrir ces nouveaux instruments.

Fischer Sheffey Black naît en 1938 à Washington D.C. Son parcours est moins linéaire que celui des économistes académiques classiques. Il étudie d’abord la physique à Harvard avant de se tourner vers les mathématiques appliquées et l’informatique. Il obtient un doctorat à Harvard en 1964 en mathématique appliquée avec une thèse consacrée[1] à ce que l’on appellerait aujourd’hui l’intelligence artificielle, à une époque où cette discipline en est encore à ses débuts. Rien, dans cette trajectoire initiale, ne le destinait à devenir l’un des fondateurs de la finance moderne. Pourtant, cette formation transversale, entre physique, calcul, logique et systèmes dynamiques, explique sans doute sa capacité à regarder les marchés comme des mécanismes formalisables.

Après ses études, Black travaille notamment chez Arthur D. Little, cabinet de conseil où il rencontre Jack Treynor[2], l’un des pionniers de la théorie moderne du portefeuille et du modèle d’équilibre des actifs financiers. Cette rencontre est décisive. Treynor introduit Black aux problèmes financiers et l’encourage à réfléchir aux liens entre risque, rendement et équilibre de marché. Black développe alors une approche très personnelle de la finance : il s’intéresse moins aux institutions qu’aux forces abstraites qui doivent gouverner les prix si les opportunités d’arbitrage sont éliminées. Son esprit est celui d’un ingénieur théoricien : il cherche la contrainte cachée, la relation nécessaire, l’équation qui doit être vraie si le marché est cohérent.

Myron Scholes naît en 1941 à Timmins, dans l’Ontario, au Canada, dans une famille profondément liée au monde des affaires. Dans son autobiographie Nobel, il insiste sur l’importance de cet environnement familial : très jeune, il s’intéresse aux échanges, à la comptabilité, aux probabilités et au risque. Une opération des yeux, durant son adolescence, perturbe sa scolarité et l’oblige à développer des méthodes de travail particulières, fondées sur l’écoute, la mémoire et la conceptualisation. Cette contrainte personnelle jouera un rôle important dans sa manière de penser : Scholes n’est pas seulement un technicien du calcul, il est attentif à la structure économique des problèmes.

Il poursuit ses études à l’université McMaster, puis à l’université de Chicago, où il obtient son doctorat en 1969. Chicago est alors l’un des centres les plus puissants de la nouvelle économie financière. Eugene Fama y travaille sur l’efficience des marchés, Merton Miller sur la finance d’entreprise, Milton Friedman sur la théorie monétaire, et la tradition intellectuelle de l’université valorise les raisonnements d’équilibre, la cohérence des prix et la discipline imposée par les marchés concurrentiels. Scholes y reçoit une formation économique très différente de la tradition plus institutionnelle européenne : l’objectif n’est pas seulement de décrire les marchés, mais de déduire ce que doivent être les prix dans un monde où les agents exploitent toutes les possibilités d’arbitrage.

Robert Cox Merton naît en 1944 à New York. Son père, Robert K. Merton, est l’un des sociologues les plus influents du XXe siècle, connu notamment pour ses travaux sur « la prophétie autoréalisatrice » et « les conséquences inattendues ». Le jeune Robert grandit donc dans un environnement intellectuel exceptionnel, mais choisit rapidement une voie différente. Il étudie d’abord l’ingénierie mathématique à Columbia en 1966, puis les mathématiques appliquées au California Institute of Technology où il obtient son MS en 1967. Il rejoint ensuite le MIT pour son doctorat en économie, sous la direction de Paul Samuelson. Ce point est capital : Samuelson est l’un des passeurs de Bachelier dans la finance américaine. À travers lui, Merton hérite d’une tradition où la physique mathématique, les probabilités et l’économie peuvent être réunies dans une même architecture analytique.

Merton possède une maîtrise technique du calcul stochastique plus poussée que celle de la plupart des économistes financiers de son temps. Là où Black et Scholes construisent une intuition d’arbitrage d’une grande puissance, Merton donne au modèle sa généralité mathématique. Son article de 1973[3], « Theory of Rational Option Pricing », publié dans le Bell Journal of Economics and Management Science, élargit le cadre, clarifie les conditions de validité, établit des restrictions générales sur les prix d’options et inscrit la formule dans une théorie rationnelle des actifs contingents. C’est pourquoi l’expression « modèle de Black-Scholes-Merton » est aujourd’hui plus exacte que l’expression plus courte de « Black-Scholes ».

Le problème de départ est en apparence simple. Une option d’achat, ou call, donne à son détenteur le droit d’acheter une action à un prix fixé à l’avance, appelé prix d’exercice, à une date future. Si, à cette date, le prix de l’action est supérieur au prix d’exercice, l’option a une valeur positive ; sinon, elle expire sans valeur. Cette structure asymétrique rend le contrat difficile à évaluer. L’acheteur bénéficie du potentiel de hausse tout en limitant sa perte à la prime payée. Le vendeur, au contraire, encaisse cette prime mais s’expose à une perte potentiellement importante si le titre monte fortement. Comment déterminer un prix juste pour un tel contrat ?

Avant Black, Scholes et Merton, plusieurs approches existaient déjà. Bachelier avait proposé une première formule en 1900, fondée sur un mouvement brownien arithmétique. Mais son modèle autorisait implicitement des prix négatifs et ne reposait pas sur une théorie moderne de l’arbitrage. D’autres auteurs avaient tenté d’évaluer les options à partir des rendements attendus des actions, des préférences des investisseurs ou de probabilités subjectives. Le problème central demeurait : le prix d’une option semblait dépendre du rendement espéré de l’action, donc de l’attitude des investisseurs face au risque. Or ce rendement attendu est précisément l’une des grandeurs les plus difficiles à observer.

La révolution de Black, Scholes et Merton consiste à montrer que, sous certaines hypothèses, le prix de l’option ne dépend pas du rendement espéré de l’action. Il dépend du prix actuel du sous-jacent, du prix d’exercice, du temps restant jusqu’à l’échéance, du taux sans risque et de la volatilité. Le paramètre psychologique ou subjectif disparaît. Cette disparition n’est pas un détail technique ; elle est le cœur de la révolution. Elle signifie que l’on peut valoriser une option sans connaître les anticipations de rendement des investisseurs, parce que l’on peut construire une stratégie de couverture qui élimine localement le risque.

L’idée fondamentale est celle du portefeuille répliquant. Il suppose que dans un intervalle de temps, le prix de l’action suit un mouvement brownien géométrique log-normale :

dSₜ = μSₜdt + σSₜdWₜ

Le prix de l’action croît en moyenne selon un indice de tendance μ, l’espérance de rentabilité, mais il est perturbé par un terme aléatoire, la volatilité sur l’espérance de rendement, σSₜdWₜ où Wₜ représente le processus de Wiener. Une option sur cette action a elle-même une valeur qui varie avec le prix du sous-jacent et avec le temps. En introduisant de façon rigoureuse le lemme de itô[4], travail rigoureux de Merton, il devient possible d’exprimer la variation infinitésimale de cette option. Black, Scholes et Merton montrent alors qu’en combinant une position dans l’option et une position appropriée dans l’action, on peut former un portefeuille dont la partie aléatoire s’annule. Ce portefeuille couvert devient localement sans risque ; il doit donc rapporter le taux sans risque. S’il rapportait davantage, un arbitrage serait possible ; s’il rapportait moins, l’arbitrage inverse apparaîtrait.

C’est de cette logique que naît l’équation différentielle de Black-Scholes-Merton[5] :

∂V/∂t + ½σ²S²∂²V/∂S² + rS∂V/∂S − rV = 0

Cette équation exprime une idée d’une grande profondeur : le prix d’un dérivé n’est pas fixé par l’espérance subjective de gain, mais par la possibilité de neutraliser son risque au moyen d’une couverture dynamique. Le terme μ, c’est-à-dire le rendement attendu de l’action, a disparu. Ce qui subsiste, c’est la volatilité σ. La finance moderne accomplit ici un déplacement majeur : elle ne cherche plus à prévoir la direction du marché, elle cherche à mesurer l’intensité de son incertitude.

Pour une option d’achat européenne ne versant pas de dividende, la solution fermée de cette équation est devenue l’une des formules les plus célèbres de la finance :

C = S₀N(d₁) − Ke⁻ʳᵀN(d₂)

avec :

d₁ = [ln(S₀/K) + (r + σ²/2)T] / (σ√T)

d₂ = d₁ − σ√T

Dans cette formule, S₀ est le prix actuel de l’action, K le prix d’exercice, T le temps jusqu’à l’échéance, r le taux sans risque, σ la volatilité et N la fonction de répartition de la loi normale. La présence de la loi normale rappelle la filiation directe avec Bachelier et Wiener, mais l’architecture économique est désormais différente. Le mouvement brownien ne sert plus seulement à décrire une trajectoire probable ; il devient l’élément à neutraliser dans une stratégie de couverture.

La notion de delta joue ici un rôle central. Le delta mesure la sensibilité du prix de l’option à une variation du prix du sous-jacent. Dans le cas du call européen de Black-Scholes-Merton, le delta est N(d₁). Couvrir une option revient alors à détenir une quantité d’action proportionnelle à ce delta, puis à ajuster continuellement cette quantité au fil du temps et des mouvements du marché. C’est ce que l’on appelle la couverture dynamique ou la bien connue gestion de delta que mettent en œuvre tous les traders de dérivés. L’option cesse d’être un pari isolé ; elle devient une position insérée dans un portefeuille vivant, régulièrement rééquilibré.

Cette intuition prolonge directement Markowitz tout en la dépassant. Chez Markowitz, le portefeuille est une combinaison d’actifs destinée à organiser le couple rendement-risque. Chez Black, Scholes et Merton, le portefeuille devient un instrument de réplication. Il ne s’agit plus seulement de réduire le risque par diversification, mais de construire une combinaison d’actifs dont le comportement reproduit exactement celui du contrat à évaluer. La diversification dilue le risque ; la couverture dynamique le neutralise localement. C’est un changement de nature.

L’apport de Merton est décisif dans cette transformation. Son travail ne se limite pas à confirmer la formule. Il généralise la méthode, étend le raisonnement à d’autres actifs contingents, précise le rôle de l’absence d’arbitrage et introduit une vision beaucoup plus large de la finance comme science de l’évaluation intertemporelle. Dans ses travaux ultérieurs, Merton applique ces idées à la dette d’entreprise, à l’assurance, à la structure du capital et à la gestion du risque. Une obligation risquée peut ainsi être vue comme une obligation sans risque diminuée d’une option de défaut, ou, inversement, les actions d’une entreprise endettée peuvent être interprétées comme une option d’achat sur la valeur des actifs de la firme. La théorie des options devient alors une grammaire générale de la finance d’entreprise.

La portée pratique du modèle est considérable. Dès l’ouverture des marchés organisés d’options, la formule fournit aux opérateurs un repère commun. Elle permet de comparer les prix observés aux prix théoriques, de calculer des sensibilités, de construire des couvertures et de gérer des livres d’options de manière systématique. Elle donne naissance à tout un langage : delta, gamma, theta, vega, rho. Ces « grecques » ne sont pas de simples raffinements techniques ; elles deviennent les coordonnées du risque. Le trader ne détient plus seulement une option, il détient un ensemble de sensibilités à la variation du sous-jacent, du temps, de la volatilité et des taux.

Le modèle transforme aussi la volatilité elle-même. Dans la formule, la volatilité est le seul paramètre essentiel qui ne soit pas directement observable au même titre que le prix de l’action, le prix d’exercice, l’échéance ou le taux sans risque. Dès lors, les marchés vont inverser la formule : à partir du prix observé d’une option, ils déduisent la volatilité implicite. La volatilité devient ainsi un prix de marché. Elle n’est plus seulement une statistique calculée sur les variations passées ; elle devient l’expression collective de l’incertitude anticipée. C’est l’un des héritages les plus puissants de Black-Scholes-Merton : avoir contribué à transformer l’incertitude en objet coté.

Cette transformation prépare l’essor de la finance dérivée moderne. Les options sur actions ne sont qu’un début. La même logique s’étend aux options sur indices, aux options de change, aux options sur taux, aux caps, floors, swaptions, obligations convertibles, produits structurés et instruments de crédit. Chaque fois, l’idée centrale demeure : identifier le sous-jacent, décrire sa dynamique, construire ou approcher une stratégie de réplication, puis déduire un prix compatible avec l’absence d’arbitrage. Même lorsque la formule fermée de Black-Scholes n’est plus applicable, son esprit demeure présent dans les méthodes numériques, les arbres binomiaux, les simulations de Monte-Carlo et les équations aux dérivées partielles utilisées par les banques.

Il faut toutefois mesurer les limites du modèle avec autant de soin que sa puissance. Les hypothèses sont fortes : marchés sans frictions, absence de coûts de transaction, possibilité de vendre à découvert, taux sans risque constant, volatilité constante, négociation continue, liquidité parfaite, absence de sauts de prix, distribution lognormale du sous-jacent. Or les marchés réels violent presque toutes ces hypothèses. Les prix peuvent sauter, la liquidité disparaître, les coûts de transaction devenir significatifs, les corrélations se rompre, la volatilité changer brutalement. La couverture dynamique suppose un monde où l’on peut ajuster continuellement ses positions ; les crises rappellent que le temps réel des marchés n’est jamais le temps continu des équations.

La plus célèbre anomalie empirique est le sourire, smile, de volatilité. Si le modèle était parfaitement vrai, toutes les options écrites sur le même sous-jacent et la même maturité devraient impliquer la même volatilité. En pratique, les volatilités implicites varient selon les prix d’exercice et les échéances. Les options très en dehors ou très dans la monnaie incorporent souvent des primes différentes, notamment parce que les marchés attribuent une probabilité plus élevée aux événements extrêmes que ne le suppose la loi lognormale simple. Le krach de 1987 a rendu cette limite particulièrement visible : les marchés d’options ont commencé à intégrer une peur plus structurée des chutes brutales, ce que la formule initiale ne pouvait pas représenter.

Ces limites n’annulent pas le modèle ; elles expliquent au contraire sa postérité. Black-Scholes-Merton n’est pas une photographie complète du réel. C’est une matrice. À partir d’elle, on peut comprendre ce qui doit être corrigé : volatilité locale, volatilité stochastique, sauts, coûts de transaction, marchés incomplets, contraintes de liquidité, risques de contrepartie. Une grande partie de la finance quantitative contemporaine peut être lue comme un dialogue permanent avec ce modèle : soit pour l’utiliser comme approximation, soit pour l’étendre, soit pour montrer où ses hypothèses cessent de fonctionner.

L’histoire du prix Nobel illustre aussi la nature collective et parfois tragique de cette découverte. En 1997, Myron Scholes et Robert Merton reçoivent le prix de la Banque de Suède[6] en sciences économiques en mémoire d’Alfred Nobel « pour une nouvelle méthode de détermination de la valeur des dérivés ». Fischer Black, décédé en 1995, ne peut être récompensé, le prix n’étant pas attribué à titre posthume. Son absence rappelle que les grandes découvertes scientifiques ne se laissent pas toujours enfermer dans les règles institutionnelles de la reconnaissance. Le nom de Black demeure pourtant indissociable de l’équation, au point que l’usage courant continue de parler de Black-Scholes, même lorsque l’on sait combien Merton a contribué à la généralisation de la théorie.

La réception du modèle comporte une autre ironie. Quelques années après le Nobel, Scholes et Merton seront associés à Long-Term Capital Management, fonds spéculatif dont l’effondrement en 1998 deviendra un symbole des dangers d’une confiance excessive dans les modèles. Il serait simpliste d’en conclure que Black-Scholes-Merton était faux. L’épisode montre plutôt qu’un modèle d’évaluation n’est pas un modèle total du monde. Savoir valoriser un instrument sous certaines hypothèses ne signifie pas maîtriser l’endettement, la liquidité, les comportements mimétiques ou les réactions de marché en situation de stress. La finance mathématique donne des instruments de pensée ; elle ne dispense jamais du jugement sur les conditions dans lesquelles ces instruments sont employés.

L’apport durable de Black, Scholes et Merton tient donc à un déplacement conceptuel profond. Bachelier avait montré que l’on pouvait appliquer les probabilités à la spéculation. Wiener avait donné une structure rigoureuse au mouvement aléatoire continu. Markowitz avait montré que l’investisseur pouvait organiser rationnellement un portefeuille exposé au risque. Black, Scholes et Merton franchissent une étape supplémentaire : ils montrent que certains risques peuvent être transformés en prix par réplication dynamique. La finance ne se contente plus de mesurer l’incertitude ; elle apprend à la fabriquer, à la découper, à la transférer et à la couvrir.

Conclusion

L’équation de Black-Scholes-Merton est devenue l’un des symboles les plus puissants de la finance moderne parce qu’elle condense en quelques lignes une transformation intellectuelle majeure. Elle ne dit pas seulement combien vaut une option européenne dans un monde idéalisé. Elle affirme que la valeur d’un actif contingent peut être déduite d’une stratégie de couverture et non d’une simple prévision. Par là, elle substitue à la psychologie de l’anticipation une logique d’arbitrage.

Son héritage est partout : dans les salles de marché, les logiciels de pricing, la gestion des risques, les normes comptables, les stress tests, les marchés de volatilité et la conception des produits structurés. Même ses limites sont devenues fécondes, car elles ont ouvert la voie aux modèles à volatilité stochastique, aux modèles à sauts, aux méthodes numériques et à la prise en compte plus fine de la liquidité et des queues de distribution.

Mais la leçon la plus importante est peut-être ailleurs. Black, Scholes et Merton n’ont pas supprimé le hasard. Ils ont montré que, sous certaines conditions, il pouvait être localement neutralisé par une construction financière. C’est toute l’ambivalence de la finance quantitative : elle rend l’incertitude calculable sans la faire disparaître. Elle donne au marché une grammaire d’une puissance extraordinaire, mais cette grammaire reste dépendante du monde dans lequel elle est employée. Lorsque ce monde demeure proche des hypothèses, le modèle éclaire. Lorsqu’il s’en éloigne trop, le modèle peut aveugler.

C’est pourquoi leur œuvre appartient pleinement à une histoire des mathématiciens et de la finance. Elle prolonge Bachelier, Wiener et Markowitz, mais elle marque aussi un seuil nouveau : le moment où le hasard des marchés devient non seulement mesurable et organisable, mais réplicable. À partir de là, la finance entre dans l’âge des dérivés, de la volatilité implicite et de l’ingénierie du risque. Le marché n’est plus seulement un lieu où s’échangent des titres ; il devient un espace où se construisent, se décomposent et se recomposent les formes mêmes de l’incertitude.

[1] Il travaille 1 an au MIT sur le sujet avec Marvin Minsky considéré comme le père fondateur de l’IA

[2] Jack Lawrence Treynor, économiste américain, considéré par F. Black comme le père du modèle CAPM https://people.duke.edu/~charvey/teaching/ba453_2006/french_treynor_capm.pdf

[3] . Robert C. Merton, « Theory of Rational Option Pricing », Bell Journal of Economics and Management Science, vol. 4, n° 1, 1973, p. 141-183.

[4] Ito Stochastic Differential Equations https://math.nyu.edu/~goodman/teaching/StochCalc/notes/drafts/l10.pdf

[5] https://www.cs.princeton.edu/courses/archive/fall09/cos323/papers/black_scholes73.pdf

[6] The Nobel Prize, « The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1997 », communiqué et notices biographiques de Myron Scholes et Robert C. Merton.