Par Philippe Alezard
Avec Wiener, la finance moderne avait trouvé le moyen de donner une forme mathématique à l’incertitude. Le mouvement brownien permettait de penser les fluctuations des prix comme l’effet cumulé d’une infinité de chocs élémentaires, désordonnés, imprévisibles, mais néanmoins susceptibles d’être inscrits dans un cadre probabiliste rigoureux. En d’autres termes, l’aléa cessait d’être une simple intuition du marché pour devenir un objet mathématique. Mais cette première conquête n’épuisait pas la question. Car savoir que les prix fluctuent selon une dynamique stochastique ne dit pas encore comment un investisseur doit se comporter face à cette instabilité. Une fois l’incertitude décrite, restait à en organiser l’usage.
C’est précisément à ce point qu’intervient Harry Markowitz. Là où Wiener fournit à la finance la grammaire probabiliste de l’aléa, Markowitz en élabore la logique décisionnelle. Son problème n’est plus d’abord celui de l’évolution d’un prix au cours du temps, mais celui du choix d’un ensemble d’actifs dans un univers où l’avenir demeure irréductiblement incertain. Avec lui, la finance franchit un nouveau seuil de formalisation : elle ne se contente plus de modéliser les mouvements du marché, elle cherche à déterminer comment un agent rationnel doit répartir son capital à l’intérieur de ces mouvements.
Fils unique d’un couple d’épiciers de Chicago, Harry Markowitz naît dans cette ville le 24 août 1927. Ses premières passions, au lycée, furent la physique et la philosophie[1]. L’un des arguments qui le marquèrent particulièrement fut celui de David Hume selon lequel, même si nous lâchons une balle mille fois et qu’à chaque fois elle tombe au sol, nous ne disposons d’aucune preuve nécessaire qu’elle tombera une mille et unième fois. En 1947, il entre à l’université de Chicago pour y suivre un bachelor de philosophie dans le programme OII, « Observation, Interpretation and Integration », mais, dès 1950, c’est l’économie de l’incertitude qui l’attire. Ce qui l’intéresse alors, ce sont les travaux de von Neumann[2] et Morgenstern sur l’utilité espérée (expected utility), ainsi que ceux de Milton Friedman et Leonard Savage sur la fonction d’utilité (utility function).
Lui qui n’avait jamais suivi le moindre cours de finance et n’avait jamais acheté la moindre action se retrouve invité à intégrer la célèbre Cowles Commission for Research in Economics[3], institution qui a compté à ce jour douze prix Nobel d’économie, dont Markowitz lui-même. Son directeur est alors Tjalling Koopmans[4], futur prix Nobel en 1975 pour ses travaux sur la théorie de l’allocation optimale des ressources. Parmi les enseignants qui formeront le jeune Markowitz figurent notamment Milton Friedman et Leonard J. Savage[5]. Pour la petite histoire, c’est à ce dernier que l’on doit la redécouverte de la thèse de Louis Bachelier, qu’il fera lire à Paul Samuelson. C’est également à la lecture de The Theory of Investment Value de John Burr Williams[6] que Markowitz eut l’idée de son sujet de thèse. Comme il le raconte lui-même dans son autobiographie publiée à l’occasion de la remise du prix Nobel, « Williams proposait que la valeur d’une action soit égale à la valeur actuelle de ses dividendes futurs. Comme les dividendes futurs sont incertains, j’ai interprété la proposition de Williams comme consistant à évaluer une action à partir de ses dividendes futurs espérés. Mais si l’investisseur ne s’intéressait qu’aux valeurs espérées des titres, il ou elle ne s’intéresserait qu’à la valeur espérée du portefeuille ; et, pour maximiser la valeur espérée d’un portefeuille, il suffirait d’investir dans un seul titre. Je savais que ce n’était ni la manière dont les investisseurs agissaient, ni celle dont ils devraient agir. Les investisseurs diversifient parce qu’ils se préoccupent du risque autant que du rendement. »
L’intuition de Markowitz[7], en apparence simple, est en réalité d’une portée considérable. Avant lui, l’analyse financière tendait surtout à juger les placements un à un, selon leurs promesses de rendement, leur solidité ou leur réputation. Markowitz déplace radicalement le problème en montrant que, du point de vue de l’investisseur, l’unité pertinente n’est pas l’actif isolé, mais le portefeuille dans sa totalité. Dans son article fondateur paru dans l’édition de mars 1952 du Journal of Finance, « Portfolio Selection », il propose de représenter un portefeuille non comme la simple addition de plusieurs titres, mais comme une structure d’ensemble née de leur combinaison. Car ce qui importe n’est pas seulement la qualité intrinsèque de chaque actif, mais la combinaison de leurs comportements, puisque le risque d’un portefeuille dépend non seulement du risque propre à chaque titre, mais aussi de la manière dont ces titres varient les uns par rapport aux autres. La décision financière cesse alors d’être une simple sélection de bons titres pour devenir un problème de composition. Ce déplacement est décisif, parce qu’il révèle que le risque lui-même ne peut être pensé de manière purement individuelle. Un actif peut être très volatil pris séparément, mais devenir pleinement recevable dans un portefeuille s’il contribue, par ses relations avec d’autres actifs, à stabiliser l’ensemble. Inversement, des titres apparemment sûrs, s’ils réagissent tous de la même manière aux mêmes événements, peuvent produire collectivement une fragilité plus grande qu’on ne l’imagine. Par là, Markowitz introduit l’idée que la rationalité financière n’est pas une propriété des instruments considérés un à un, mais de leur agencement.
Cette idée trouve sa formulation dans la distinction entre rendement espéré et risque. L’investisseur chez Markowitz optimise ce couple rendement-risque au niveau du portefeuille, soit en recherchant le meilleur rendement pour un risque donné, soit en recherchant le plus faible risque pour un rendement donné. Il devient ainsi possible de représenter le portefeuille au moyen de fonctions d’utilité ne dépendant que du rendement attendu, c’est-à-dire de l’espérance mathématique, et d’une mesure du risque, la variance. Chez Markowitz, la variance ne tire pas sa légitimité de son usage courant en statistique, mais de sa pertinence économique. Elle se justifie par le fait que l’investisseur prudent n’évalue pas symétriquement gains et pertes : une perte supplémentaire lui est plus que proportionnellement pénible, tandis qu’un gain supplémentaire ne lui est pas proportionnellement plus favorable. Dès lors, la dispersion des rendements autour de leur espérance constitue une mesure pertinente du risque.
Dès lors, si l’on note wi la part de richesse investie dans l’actif i, et E(Ri) son rendement espéré, alors le rendement attendu du portefeuille s’écrit :
Cette relation exprime que le rendement d’ensemble n’est, en un premier sens, qu’une moyenne pondérée des rendements individuels. Rien, à ce stade, ne paraît encore rompre avec l’intuition ordinaire. Mais c’est précisément lorsque l’on passe à la mesure du risque que surgit la nouveauté théorique. Car si le rendement se combine de manière additive, le risque, lui, ne s’agrège pas selon une simple somme. La variance du portefeuille s’écrit :
Autrement dit, le risque total dépend non seulement des variances propres à chaque actif, mais aussi de toutes les covariances croisées entre leurs rendements. Dans le cas élémentaire de deux actifs, la formule devient :
Cette expression est le véritable cœur de la révolution markowitzienne. Elle signifie que le risque d’un portefeuille n’est jamais la simple juxtaposition de risques individuels, mais le produit d’une structure relationnelle. Ce qui compte n’est pas seulement la turbulence propre à chaque titre, mais la manière dont ces turbulences se répondent, se renforcent ou se compensent.
C’est ici qu’intervient la covariance, notion décisive parce qu’elle mesure le sens et l’intensité avec lesquels deux actifs varient ensemble. Lorsque la covariance est fortement positive, les actifs tendent à monter et baisser de concert ; leur réunion offre alors peu de protection, puisque les pertes éventuelles de l’un risquent d’être reproduites par l’autre. Lorsque la covariance est faible, la redondance entre les comportements diminue et le portefeuille gagne en stabilité relative. Lorsque, enfin, la covariance est négative, les mouvements de l’un tendent partiellement à compenser ceux de l’autre, de sorte qu’une partie du risque individuel est absorbée par la structure d’ensemble. La diversification reçoit ainsi, chez Markowitz, son premier fondement strictement mathématique. Elle n’est plus une maxime prudente relevant du simple bon sens — ne pas mettre tous ses œufs dans le même panier — mais une propriété calculable de la combinaison des actifs. Diversifier ne signifie donc pas accumuler mécaniquement un grand nombre de titres ; cela signifie associer des positions dont les comportements ne sont pas superposables. Une pluralité d’actifs très corrélés ne constitue, au fond, qu’une répétition déguisée d’un même risque. À l’inverse, un portefeuille réellement diversifié est un portefeuille dont l’hétérogénéité interne transforme la dispersion des expositions en réduction effective de la variance globale.
De cette logique découle la notion de frontière efficiente, qui résume l’ambition théorique du modèle. Si l’on représente l’ensemble des portefeuilles possibles dans un espace où l’axe horizontal mesure le risque sp et l’axe vertical le rendement espéré E(Rp), on constate que certains portefeuilles dominent les autres (cf. ci-dessous).
Ce graphique illustre la logique de l’optimisation de portefeuille dans le cadre moyenne-variance de Markowitz.
La courbe noire correspond à la frontière des portefeuilles risqués. Sa partie supérieure est la frontière efficiente : elle rassemble les portefeuilles qui offrent, pour un niveau de risque donné, le rendement le plus élevé possible. La partie inférieure, en dessous du portefeuille de variance minimale, n’est pas efficiente, car on peut trouver mieux soit en rendement, soit en risque.
Le point intitulé Minimum Variance Portfolio est le portefeuille de variance minimale. Aucun autre portefeuille risqué ne permet d’obtenir une volatilité plus faible. Il constitue donc le point de départ de la frontière efficiente.
Le point Tangency Portfolio revêt une importance particulière parce qu’il se trouve au point où la droite rouge en pointillés est tangente à la frontière. Cette droite est la capital market line ou droite d’allocation du capital : elle part du taux sans risque et touche la frontière au portefeuille qui maximise le meilleur rendement excédentaire par unité de risque. Autrement dit, si l’on introduit un actif sans risque, le portefeuille tangent devient le meilleur portefeuille risqué de référence.
Le point Maximum Return Portfolio (Volatility = 6.0%) montre qu’à un niveau de volatilité donné, ici 6 %, on peut identifier sur la frontière le portefeuille qui procure le rendement maximal compatible avec cette contrainte. Cela illustre bien l’idée markowitzienne selon laquelle le bon portefeuille dépend du compromis choisi entre risque et rendement.
Le point Equally-Weighted Portfolio représente un portefeuille également pondéré. On voit qu’il est situé en dessous de la frontière efficiente : il est donc sous-optimal au sens de Markowitz. Pour un risque voisin, il existe sur la frontière un portefeuille offrant un rendement supérieur ; ou, pour un rendement voisin, un portefeuille moins risqué.
Les points 100% SPY (Actions SP500), 100% GLD (Gold), 100% EFA (ETF Ishare sur les pays développés) et 100% IEF (ETF sur les Treasury bond 7-10 ans) correspondent à des placements entièrement investis dans un seul actif. Ils sont tous situés à droite ou en dessous de la frontière, ce qui montre l’intérêt de la diversification. Pris isolément, ces actifs offrent soit trop de risque pour leur rendement, soit un rendement insuffisant relativement à ce qu’un portefeuille diversifié permettrait d’obtenir.
L’enseignement général du graphique est sans ambiguïté. La diversification conduit l’investisseur vers des combinaisons plus efficientes que la seule détention d’un actif isolé ou qu’une répartition naïvement équipondérée. Se trouve ainsi confirmée l’intuition décisive de Markowitz : un portefeuille ne vaut pas par la seule addition des qualités propres de ses constituants, mais par la structure de leurs interdépendances. Autrement dit, la rationalité financière ne s’épuise plus dans la recherche d’un rendement maximal pris isolément ; elle se définit désormais dans l’espace conjoint du rendement espéré et du risque global, tel qu’il est ordonné par la frontière d’efficience.
La portée du modèle tient précisément à ce déplacement. Avec Markowitz, la prudence cesse d’être une disposition vague pour devenir un principe formalisable. Le portefeuille n’est plus conçu comme une juxtaposition empirique de titres, mais comme un objet d’optimisation. Corrélativement, l’investisseur n’apparaît plus comme un simple sélectionneur d’actifs singuliers, mais comme un agent d’arbitrage entre des configurations de risque et de rendement. La décision financière se trouve ainsi inscrite dans une géométrie rigoureuse, où le calcul remplace l’intuition et où le choix se formule en termes de domination, d’efficience et de compromis.
Une telle formalisation n’est toutefois possible qu’au prix d’un ensemble d’hypothèses dont il faut mesurer la portée. La construction d’un portefeuille efficient suppose la disponibilité d’estimations suffisamment robustes des des rendements espérés E(Ri), des variances et des covariances Cov(Ri,Rj). Or ces grandeurs ne sont jamais immédiatement données. Elles sont inférées à partir de séries passées, extrapolées à l’avenir, corrigées, stabilisées, et finalement traitées comme si elles pouvaient fournir une base fiable à la décision présente. Le portefeuille optimal ne repose donc pas sur une connaissance certaine, mais sur une information statistique inévitablement imparfaite.
Cette fragilité est d’autant plus décisive que les marchés ne constituent pas des environnements stationnaires. Les régimes changent, les corrélations se déplacent, les crises reconfigurent brutalement les dépendances entre actifs, et des discontinuités peuvent ruiner les régularités observées dans les données historiques. En ce sens, le programme markowitzien ne supprime nullement l’incertitude ; il la recompose dans un langage probabiliste qui demeure lui-même exposé à l’erreur d’estimation. Le risque calculé n’est jamais que le risque tel qu’il peut être saisi à partir d’une image statistique toujours partielle du réel.
Plus profondément encore, la réduction du risque à la variance engage une définition particulière de l’incertitude financière. En traitant symétriquement les écarts positifs et négatifs autour de la moyenne, elle assimile à un même phénomène des fluctuations pourtant inégalement désirables du point de vue de l’investisseur. Or celui-ci ne redoute pas la variabilité en tant que telle ; il redoute d’abord la perte. Ce point n’annule pas la fécondité du modèle, mais il en indique la limite conceptuelle : la variance n’est pas le risque en soi, elle en est une traduction mathématique déterminée, fondée sur certaines hypothèses relatives aux préférences des agents.
À cela s’ajoute une hypothèse anthropologique tout aussi décisive. Le modèle suppose un investisseur capable d’ordonner de manière cohérente et stable ses préférences face au risque. Il laisse ainsi de côté ce que l’expérience concrète des marchés met continuellement en évidence : comportements mimétiques, anticipations autoréférentielles, biais cognitifs, contraintes réglementaires, horizons hétérogènes, asymétries d’information et pluralité des stratégies. La rationalité mise en scène par la théorie est donc moins une description empirique des conduites effectives qu’une norme de cohérence appliquée au choix en univers incertain.
Ces réserves n’amoindrissent pourtant pas la signification historique de l’œuvre ; elles permettent au contraire d’en situer exactement le statut. La théorie de Markowitz n’est pas une reproduction exhaustive du fonctionnement réel des marchés. Elle appartient à ces constructions normatives majeures par lesquelles la finance moderne a cherché à rendre le choix sous incertitude intellectuellement calculable. Son importance déborde largement la seule technique de composition de portefeuille. En imposant l’idée qu’une décision financière rationnelle doit être pensée dans l’espace conjoint du rendement espéré et du risque mesuré, elle a transformé durablement les catégories mêmes de la discipline.
Une part essentielle de la finance moderne procède directement de cette refondation. La distinction entre risque diversifiable et risque non diversifiable, les modèles d’équilibre des actifs, la théorie de l’allocation d’actifs, la gestion indicielle, puis une grande partie de la gestion quantitative contemporaine prolongent toutes, sous des formes diverses, le geste inaugural de Markowitz. En ce sens, celui-ci n’ajoute pas seulement un instrument nouveau à l’outillage financier ; il modifie la structure intellectuelle à partir de laquelle les problèmes financiers deviennent formulables. Après Wiener, qui avait donné au mouvement aléatoire des prix une intelligibilité mathématique, Markowitz donne à l’investissement une forme proprement décisionnelle. Le premier rendait pensable la dynamique du hasard ; le second rend pensable l’organisation rationnelle d’un capital exposé à cette dynamique. Entre les deux se noue l’un des gestes les plus profonds de la modernité financière : non abolir l’incertain, mais le convertir en structure calculable.
La théorie de Markowitz contenait déjà, en germe, une conséquence décisive. Si le risque d’un portefeuille dépend de la manière dont les actifs se combinent, alors une partie de ce risque peut être éliminée par diversification. Mais cette conséquence appelait un déplacement conceptuel. Dès lors qu’un investisseur détient un portefeuille suffisamment large, les risques attachés aux caractéristiques propres d’une entreprise — défaillance managériale, accident industriel, perte de compétitivité, innovation manquée — tendent à se dissoudre dans l’ensemble. En revanche, subsistent des risques plus généraux, liés aux mouvements d’ensemble du marché et aux fluctuations globales des prix des actifs. C’est à partir de cette nouvelle intelligibilité du risque que pourra se déployer une autre étape décisive de la finance moderne : non plus seulement penser la composition optimale d’un portefeuille, mais déterminer la valeur d’actifs contingents dérivée de cette structure d’incertitude. Là où Markowitz avait montré comment organiser rationnellement un capital exposé au hasard, le modèle de Black et Scholes montrera qu’il est possible, sous certaines hypothèses, de neutraliser ce hasard par des stratégies de couverture dynamiques et d’en déduire un prix théorique pour les options. La théorie du portefeuille ouvre ainsi la voie à une théorie de l’évaluation : après la formalisation du choix en univers risqué vient la formalisation du prix des droits portant sur ce risque même.
[1] [1] https://www.nobelprize.org/prizes/economic-sciences/1990/markowitz/biographical/
[2] John Von Neumann, 1903 – 1957, Hongrois, génie des mathématique et de la physique, fut entre autre l’un des principaux contributeur au projet Manhattan avec Oppenheimer
[4] Tjalling Koopmans, 1910 – 1985, mathématicien, psychiatre et économiste, Nobel d’économie en 1975
[5] Leonard Jimmie Savage, 1917 – 1971, mathématicien et statisticien américain, assistant de Von Neumann sur le projet Manhattan
[6] John Burr Williams, 1900 – 1983, économiste américain à qui l’on doit la très connue théorie de Discounted Cash Flow (DCF)
[7] https://cowles.yale.edu/sites/default/files/2022-09/m16-all.pdf
