Phlippe Alezard
Selon la théorie économique classique, le prix d’un actif est déterminé par l’interaction entre l’offre et la demande : entre un vendeur qui souhaite céder cet actif et un acheteur qui souhaite l’acquérir. Plus la demande est forte, et ce pour diverses raisons, plus le prix de l’actif sera poussé à la hausse. En effet, la demande peut être théoriquement presque illimitée, alors que l’actif, lui, est par définition limité en nombre. Inversement, lorsque la demande est faible, le vendeur cherchant à se défaire de son actif aura tendance à baisser son prix afin de trouver un acheteur. On comprend ainsi que le prix correspond, à chaque instant, au point d’équilibre entre l’offre et la demande.
Tout cela est vrai dans un monde théorique idéal. Dans la réalité, un grand nombre d’événements peuvent surgir à tout moment : événements géopolitiques, climatiques, informationnels, économiques ou financiers. Ils provoquent des réactions émotionnelles, panique, rumeurs, euphorie, qui entraînent elles-mêmes des décisions humaines, ainsi que des prises de position algorithmiques dans un sens ou dans l’autre. Cette multitude de chocs aléatoires affecte le comportement des agents économiques et crée des mouvements erratiques et imprévisibles à court terme. C’est précisément ces fluctuations aléatoires, cette incertitude permanente, que les mathématiciens ont cherché à modéliser sous la forme de processus stochastiques.
Le premier à avoir eu cette intuition fut Louis Bachelier. Dans sa désormais célèbre thèse[1] « Théorie de la spéculation », soutenue en 1900, il introduit l’utilisation des probabilités pour décrire l’évolution des prix et montre que les variations des cours peuvent être représentées comme une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Il va même plus loin en construisant des histogrammes qui démontrent que ces variations se distribuent selon une courbe en cloche, autrement dit une distribution gaussienne. Bachelier pose ainsi les premiers fondements d’une finance reposant sur le mouvement brownien, un processus de diffusion et sur la loi normale.
L’histoire du mouvement brownien commence toutefois bien avant la finance. En 1827, Robert Brown[2] observe au microscope l’agitation persistante de particules de pollen en suspension dans un fluide. Ce phénomène s’explique par les impacts incessants et désordonnés des molécules du fluide sur les particules. Le mouvement individuel de chaque molécule est négligeable, mais la combinaison de l’ensemble de ces chocs produit un mouvement global totalement erratique. Le mouvement brownien d’une particule peut ainsi être modélisé comme un processus stochastique caractérisé par une succession d’incréments indépendants, de moyenne nulle, dont l’amplitude et la direction varient de manière imprévisible
En finance, la particule de pollen devient le prix d’un actif en suspension dans un marché. Les molécules du fluide sont remplacées par la multitude d’ordres d’achat et de vente, eux-mêmes motivés par une infinité d’informations, d’événements et de décisions parfois contradictoires.
Pour qu’un processus soit qualifié de mouvement brownien standard, trois propriétés doivent être vérifiées :
- Toutes les trajectoires commencent à l’origine, ou plus précisément, au sens probabiliste, la probabilité que la trajectoire commence en zéro est égale à un.
- Chaque incrément du processus est indépendant du précédent : les variations futures ne dépendent pas du passé. Le mouvement brownien n’a pas de mémoire.
- La distribution des incréments P(t+1) – P(t) à chaque instant suit une loi normale de moyenne nulle, dont la variance (t+1) – t est proportionnelle au temps écoulé.
Or ce sont précisément ces propriétés que Bachelier avait déjà observées en étudiant les cours de la Bourse de Paris. Mais c’est Norbert Wiener qui donnera à ce phénomène sa formalisation mathématique rigoureuse.
Né en 1894 à Columbia, dans le Missouri, Wiener est issu d’une famille juive russe ayant immigré aux États-Unis. Son père, Leo Wiener, traducteur de l’œuvre complète de Léon Tolstoï et futur professeur de langues slaves à Harvard, prend personnellement en charge l’éducation de son fils selon des méthodes pédagogiques originales. Enfant prodige, Norbert fait ses études primaires à la maison, entre au lycée en 1903 et obtient son diplôme équivalent au baccalauréat en 1906, à l’âge de douze ans.
Il entre ensuite à l’université de Tufts avant de rejoindre Harvard, où il soutient une thèse de logique mathématique. À seulement dix-huit ans, il devient le plus jeune docteur de l’histoire de cette prestigieuse université. Après sa soutenance, il part en Europe : à Cambridge, il suit les cours de Bertrand Russell ; à Göttingen, il étudie auprès de David Hilbert, l’un des plus grands mathématiciens du XXᵉ siècle.
De retour aux États-Unis, après plusieurs postes temporaires, Wiener rejoint en 1919 le MIT, où il passera l’essentiel de sa carrière. Il y développera une œuvre scientifique d’une étonnante diversité, à la frontière de l’analyse mathématique, des probabilités, de l’ingénierie et de la philosophie des sciences.
Depuis l’observation de Brown en 1827, le mouvement brownien était connu. En 1900, Bachelier l’avait appliqué aux fluctuations des prix. En 1905, Albert Einstein publie sa théorie du mouvement brownien, tandis que Marian Smoluchowski[3] développe indépendamment une approche fondée sur les collisions aléatoires des molécules. Ces travaux en donnent une interprétation physique.
Mais une question fondamentale demeurait : comment définir rigoureusement, en mathématiques, une trajectoire aléatoire continue dans le temps ?
En 1923, les marches aléatoires discrètes , comme celles issues d’un jeu de pile ou face, étaient déjà bien comprises. On manipulait alors un nombre fini de variables aléatoires. Le passage au temps continu posait en revanche une difficulté conceptuelle majeure : comment définir une probabilité sur une infinité non dénombrable de variables aléatoires ?
Dans son article « Differential-Space[4] », Wiener propose une solution élégante. Il considère l’ensemble des trajectoires possibles comme les points d’un espace fonctionnel de dimension infinie. Pour construire une mesure de probabilité sur cet espace, il commence par discrétiser le temps en subdivisant l’intervalle [0,1] en n morceaux :
0 = t0 < t1 < t2 … < tn =1
Il étudie alors uniquement les incréments :
X1 = j(t1) – J(0)
X2 = j(t2) – J(t1)
….
Xn = j(tn) – J(tn-1)
Trois points sont cruciaux :
- ce ne sont pas les positions successives qui sont indépendantes, mais les déplacements sur chaque intervalle ;
- Chaque incrément suit une loi normale dont la variance est proportionnelle à la longueur de l’intervalle
- une trajectoire peut alors être représentée par un vecteur (X1 , X2, …, Xn ), donc par un objet de dimension finie.
En faisant tendre n vers l’infini et on obtient une mesure gaussienne finie sur une espace de dimension infinie. Cette construction est aujourd’hui connue sous le nom de mesure de Wiener.
Une autre conséquence remarquable apparaît : les trajectoires du mouvement brownien sont continues, mais nulle part dérivables. Autrement dit, elles sont infiniment irrégulières. À l’époque, on parlait de « fonctions pathologiques ». Ces objets deviendront plus tard une nouvelle classe de structures mathématiques, popularisées par Benoit Mandelbrot[5] sous le nom de fractales.
La contribution de Wiener marque ainsi l’aboutissement d’une longue chaîne de découvertes scientifiques : l’observation expérimentale de Brown, l’intuition financière de Bachelier, l’interprétation physique d’Einstein et de Smoluchowski. Cette chaîne se prolongera ensuite avec les travaux de Andreï Kolmogorov[6] sur la théorie moderne des probabilités et avec le calcul stochastique de Kiyoshi Itô[7].
Bien que formulé initialement pour décrire le mouvement brownien, le processus de Wiener est aujourd’hui devenu l’ossature probabiliste de la modélisation des marchés financiers et l’un des piliers de la finance quantitative.
L’idée centrale consiste à modéliser l’incertitude par un processus continu à incréments indépendants, gaussiens et stationnaires. En finance, cela revient à supposer que les variations de prix à court terme sont :
- indépendantes conditionnellement à l’information disponible,
- centrées (absence d’arbitrage),
- proportionnelles à la racine carrée du temps (structure diffusive).
C’est précisément la structure du processus de Wiener. L’application structurante de ce modèle en finance apparaît avec l’équation dynamique du prix d’un actif :
dSt = μStdt + σStdWt
qui constitue le point de départ du modèle de Black & Scholes.
Cette équation, appelée mouvement brownien géométrique, montre que le prix d’un actif suit en moyenne une croissance exponentielle, premier terme de l’équation, mais que cette trajectoire est constamment perturbée par un bruit brownien représentant les fluctuations imprévisibles du marché, second terme de l’équation.
Dans ce cadre, le paramètre central n’est pas « μ », le rendement espéré du marché, mais « σ », la volatilité. La volatilité devient la mesure quantitative de l’incertitude : une structure probabiliste modélisable et observable, notamment dans les prix des options. Elle se cote, se négocie et devient une variable macro-financière fondamentale.
La finance quantitative transforme donc l’incertitude en actif financier.
L’héritage de Wiener est omniprésent, souvent de manière invisible. Les salles de marché, les modèles de gestion des risques, les méthodes de simulation utilisées par les banques centrales ou les institutions financières reposent largement sur des outils dérivés de cette construction probabiliste.
Le passage du mouvement brownien à la dynamique des prix représente l’un des transferts les plus puissants entre mathématiques pures et théorie économique. Il constitue la matrice conceptuelle de la finance quantitative moderne.
En ce sens, l’héritage de Wiener dépasse la géométrie probabiliste : il façonne notre compréhension contemporaine du risque, du temps et du capital.
Le processus de Wiener n’est pas seulement une construction mathématique, il illustre cette fécondité singulière des abstractions mathématiques : conçues pour éclairer un phénomène précis, elles finissent parfois par devenir une grammaire universelle de l’incertitude.
[1] Le rapport de thèse de L. Bachelier se trouve dans le registre des thèse de la Faculté des sciences de Paris, déposé aux Archives nationales
[2] Robert Brown, 1773 – 1858, botaniste, chirurgien et explorateur écossais
[3] Marian Smoluchowski, 1872 – 1917, physicien Polonais dont les apport sur le mouvement brownien, l’électrophorèse, la théorie de fluctuations, le bleu du ciel, la physique des colloïdes ont été primordiaux à une époque où l’existence des atomes et des molécules était loin d’être admise
[4] https://djalil.chafai.net/docs/M2/history-brownian-motion/Wiener%20-%201923.pdf
[5] Benoit Mandelbrot, 1924 – 2010, mathématicien Polono-franco-américain
[6] Andreï Kolmogorov, 1903 – 1987, mathématicien russe, contributeur significatif de la théorie des probabilités
[7] Kiyoshi Itô, 1915 – 2008, mathématicien japonais considéré comme le fondateur du calcul stochastique
